Динамика сильно шунтированного джозефсоновского контакта под действием тока, содержащего как постоянную (В), так и переменную (с амплитудой А) компоненту, моделируется семейством дифференциальных уравнений на двумерном торе, зависящим от трёх параметров: абсциссы В, ординаты А и фиксированной частоты внешней накачки. Имеется хорошо известный топологический инвариант дифференциального уравнения на торе: число вращения, которое отвечает за среднее значение напряжение на контакте. В данной модели число вращения есть функция от (В,А). Зоны фазового захвата – это те её множества уровня, которые имеют непустую внутренность. Они существуют только для целых чисел вращения [1] и являются гирляндами из бесконечного числа областей, разделённых точками, называющихся перемычками (все, кроме одной, лежащей на оси абсцисс) [2]. Пересечение зоны захвата с горизонтальной прямой есть ступенька Шапиро. Перемычки отвечают нулевым ступенькам Шапиро. В каждой зоне перемычки лежат на одной вертикальной прямой [3]. Доказательство основано на описании модели семейством специальных дважды конфлюэнтных уравнений Гойна, с применением теории явления Стокса, изомонодромных деформаций, связанных с уравнениями Пенлеве 3, и быстро-медленных методов.
А.С.Горский поставил вопрос о реализуемости общих уравнений Гойна с четырьмя особыми точками семействами динамических систем на торе со свойством фазового захвата. Такие семейства систем на торе недавно построены [4]. Их зоны захвата существуют только для целых чисел вращения. Однако в них нет перемычек.
В докладе будет представлены обзор результатов и открытых задач и методы доказательств, включая подготовительный материал.

[1] Бухштабер В.М.; Карпов О.В.; Тертычный, С.И. Эффект квантования числа вращения. -- ТМФ, 162:2 (2010), 254–265.

[2] Klimenko A.V; Romaskevich O.L. Asymptotic properties of Arnold tongues and Josephson effect. -- Mosc. Math. J., 14:2 (2014), 367–384.

[3] Bibilo Yu.; Glutsyuk A. On families of constrictions in model of overdamped Josephson junction and Painlevé 3 equation. -- Nonlinearity, 35 (2022), 5427–5480.

[4] Alexandrov A.; Glutsyuk A. Dynamical systems on torus related to general Heun equations: phase-lock areas and constriction breaking. -- Preprint https://arxiv.org/abs/2507.07282

Мы изучаем слабо нелинейную динамику флексоэлектрической неустойчивости в нематических жидких кристаллах, инициированную внешним переменным электрическим полем. Неустойчивость возникает при конечном волновом векторе. Мы анализируем поведение на временных масштабах, значительно превышающих период внешнего электрического поля. Мы интересуемся случаем, когда инкремент наиболее неустойчивой моды имеет мнимую часть, так называемая бифуркация Хопфа. Существование такого режима было установлено в нашей предыдущей работе [Е.С. Пикина, А.Р. Муратов, Е.И. Кац, В.В. Лебедев, Динамические флексоэлектрические неустойчивости в нематических жидких кристаллах, Phys. Rev. E, 110, 024701 (2024)]. Выше порога неустойчивости могут появляться различные текстуры, включая стационарные и движущиеся в пространстве структуры. Проведено численное решение полной нелинейной системы уравнений электро-нематодинамики. Найдено, что устойчивая динамическая текстура в окрестности бифуркации Хопфа — движущиеся наклонные роллы (оптически детектируемые по деформациям нематического директора). Временное установление этого режима происходит аномально медленно, что определяется не только критическим замедлением динамики по Ландау, но и наличием промежуточной неустойчивой, но долгоживущей динамической текстуры, осциллирующей по времени, но не движущейся. В зависимости от параметров жидкокристаллического материала бифуркация, соответствующая образованию движущихся роллов, может быть мягкой (т. е. непрерывной, «критической» или близкой к «трикритической») или жесткой (то есть возникающей в точке бифуркации с конечной амплитудой).

This talk presents results of a comprehensive study of the classical and quantum dynamics of spin 1/2 Dirac fermion particles with dipole moments under the action of arbitrary external fields (including gravitational, inertial, electromagnetic, axion ones). The gauge-theoretic framework of the general-relativistically covariant Dirac theory is used to describe in a consistent way the minimal and nonminimal couplings of fermions to external fields of different physical nature. The quantum and quasiclassical equations of motion are derived and a complete consistency of the quantum and classical spin dynamics is demonstrated. Applications range from astrophysics, to precision experiments with polarized particles in accelerators and storage rings, to the heavy-ion collisions.