Рассматривается решёточная теория гравитации при сверхвысоких температурах. Определяется глобальное $Z_4$-преобразование фермионных дираковских и бозонных полей (тетрада и элементы голономии), из которых строится решёточное действие. Это $Z_4$-преобразование является "корнем" из $Z_2$- или $PT$-преобразования, ранее предложенного автором. При самых высоких температурах рассматриваемое действие инвариантно относительно преобразования $Z_4$, и эта симметрия не нарушена. При понижении температуры $Z_4$-симметрия нарушается до $Z_2$-симметрии, причём параметром порядка является $Z_2$-симметричный вклад в действие, трансформирующийся в длинноволновом пределе в действие Гильберта-Эйнштейна. $Z_4$ преобразование смешивает частицы и античастицы, так что в $Z_4$-симметричной фазе исчезает различие между частицами и античастицами (на языке Дираковских полей).

Поиск условий, обеспечивающих вырожденные стационарные состояния в неравновесных топологических сверхпроводниках, важен для развития диссипативной квантовой инженерии — области, привлекающей значительное внимание исследователей в последнее десятилетие. В данной работе мы рассматриваем такую задачу, исследуя топологические сверхпроводники, содержащие неспаренные майорановские моды, под влиянием диссипативных полей окружающей среды. В рамках формализмов Горини — Коссаковского — Сударшана — Линдблада и третичного квантования найдено соответствие между равновесными майорановскими модами и неравновесными нулевыми кинетическими модами. Представлено простое алгебраическое соотношение между количеством таких возбуждений, выраженное через гибридизацию одночастичных волновых функций майорановских мод и линейных диссипативных полей. Основываясь на этих результатах, были предложены практические рецепты стабилизации вырожденных стационарных состояний в топологических сверхпроводниках посредством контролируемого управления диссипацией. Для демонстрации результатов общей теории проведено рассмотрение модели цепочки Китаева класса BDI с дальними перескоками и сверхпроводящими спариваниями — системы, в которой, как известно, существуют устойчивые краевые майорановские моды.

В рамках квантового полевого подхода, описывающего эволюцию квадратичного лиувиллиана в базисе когерентных состояний на контуре Келдыша, исследованы спектральные и транспортные свойства диссипативной сверхпроводящей системы, связанной с нормальными ферми-резервуарами (контактами). Выведено обобщение формулы Меира-Вингрина и матрицы Онсагера для сверхпроводящей системы, связанной с произвольным количеством фермиевских бань. В соответствии с правилом Кирхгофа, получено выражение, описывающее ток потерь, индуцированный диссипацией, и сформулированы модифицированные квантовые кинетические уравнения. Для широкозонных контактов, локально связанных с отдельными узлами, обнаружено, что каждый контакт уменьшает кратность вырождения неравновесного стационарного состояния на единицу. Эти результаты были численно подтверждены при рассмотрении расширенной цепочки Китаева в симметричных точках, связанной с одним контактом. Кроме того, в режиме линейного отклика при низких температурах продемонстрировано, что (не)вырожденные неравновесные стационарные состояния соответствуют (не)квантованным пикам кондактанса при нулевом напряжении. Рассмотрение проблемы резонансного транспорта через майорановскую моду цепочки Китаева показало, что диссипация приводит к подавлению пика при нулевом смещении и его асимметрию.

В диссертации рассмотрены некоторые аспекты дуальности между "непрерывным" (теоретико-полевым) и "дискретным" подходом к описанию модели "минимальной Лиувиллевской гравитации" в теории струн. В теоретико-полевом подходе развит аналитический метод вычисления струнных амплитуд с помощью «высших уравнений движения» в теории Лиувилля и применен к вычислению амплитуды в роде 1. Затем продемонстрирована связь между квазиклассическим пределом струнных амплитуд и объемами пространств модулей, вычисляемыми в терминах классической теории Лиувилля. Наконец, предложен эффективный способ вычисления предполагаемых аналогов амплитуд в дискретном подходе, который позволяет получить общую формулу для них в терминах «диаграммной техники» с простыми правилами.