Теория Весса—Зумино—Виттена, связанная с супергруппой GL(1|1), обладает интересными особенностями. С одной стороны, ее структура сравнительно проста, а с другой она представляет собой пример логарифмической теории, то есть конформной теории поля, в которой у некоторых полей корреляционные функции логарифмически зависят от расстояний. В этой теории спектр конформных размерностей локальных операторов непрерывный, и логарифмические операторы возникают в специальных вырожденных точках, включая точки, отвечающие нулевой размерности. Представление свободными полями дает эффективный метод исследования моделей конформной теории поля, и в GL(1|1)-теории она кажется довольно простой и хорошо разобранной в предыдущих работах. В то же время, на мой взгляд, не все возможности этого представления были использованы. В данной работе, помимо более подробного вычисления структурных констант, были изучены матрицы слияния и сплетания для конформных блоков. Показано, что вблизи вырожденных точек, отвечающих логарифмическим полям, можно выбрать базис конформных блоков, разрешающий вырождение. Я показываю, как этот базис связан с логарифмическими операторами теории.

It is shown by numerical simulations within a regularized Biot-Savart law that dynamical systems of two or three leapfrogging coaxial quantum vortex rings having a core width $\xi$ and initially placed near a torus of radii $R_0$ and $r_0$, can be three-dimensionally (quasi-)stable in some regions of parameters $\Lambda=\ln(R_0/\xi)$ and $W=r_0/R_0$. At fixed $\Lambda$, stable bands on $W$ are intervals between non-overlapping main parametric resonances for different (integer) azimuthal wave numbers $m$. The stable intervals are most wide ($\Delta W\sim$ 0.01--0.05) between $m$-pairs $(1,2)$ and $(2,3)$ at $\Lambda\approx$ 4--12 thus corresponding to micro/mesoscopic sizes of vortex rings in the case of superfluid $^4$He. With four and more rings, at least for $W>0.1$, resonances overlap for all $\Lambda$ and no stable domains exist.

We examine the question of the influence of sparse long-range communications on the synchronization in parallel discrete event simulations (PDES). We build a model of the evolution of local virtual times (LVT) in a conservative algorithm including several choices of local links. All network realizations belong to the small-world network class. We find that synchronization depends on the average shortest path of the network. The time profile dynamics are similar to the surface profile growth, which helps to analyze synchronization effects using a statistical physics approach. Without long-range links of the nodes, the model belongs to the universality class of the Kardar–Parisi–Zhang equation for surface growth. We find that the critical exponents depend logarithmically on the fraction of long-range links. We present the results of simulations and discuss our observations.