Рассматривается модель sh-Гордона на многолистной римановой поверхности с плоской метрикой и разрезами, соединяющими листы. Такую модель можно рассматривать как несколько копий модели sh-Гордона на плоскости, связанных между собой специальными операторами (операторами твиста), отвечающими концевые точки разрезов - точки ветвления. Можно рассмотреть более сложные операторы - композитные операторы твиста, отвечающие локальным операторам, помещенным в точках ветвления. В работе вычисляются формфакторы нескольких серий таких операторов в квазиклассическом пределе. Квазиклассический подход не использует квантовой интегрируемости, но существенно опирается на точные решения классической модели. Он позволил нам лучше разобраться в перенормировках локальных операторов.

A dissipationless supercurrent state in superconductors can be destroyed by thermal fluctuations. Thermally activated phase slips provide a finite resistance of the sample and are responsible for dark counts in superconducting single photon detectors. The activation barrier for a phase slip is determined by a space-dependent saddle-point (instanton) configuration of the order parameter. In the one-dimensional wire geometry, such a saddle point has been analytically obtained by Langer and Ambegaokar in the vicinity of the critical temperature, $T_c$, and for arbitrary bias currents below the critical current $I_c$. In the two-dimensional geometry of a superconducting strip, which is relevant for photon detection, the situation is much more complicated. Depending on the ratio $I/I_c$, several types of saddle-point configurations have been proposed, with their energies being obtained numerically. We demonstrate that the saddle-point configuration for an infinite superconducting film at $I\to I_c$ is described by the exactly integrable Boussinesq equation solved by Hirota's method. The instanton size is $L_x\sim\xi(1-I/I_c)^{-1/4}$ along the current and $L_y\sim\xi(1-I/I_c)^{-1/2}$ perpendicular to the current, where $\xi$ is the Ginzburg-Landau coherence length. The activation energy for thermal phase slips scales as $\Delta F^\text{2D}\propto (1-I/I_c)^{3/4}$. For sufficiently wide strips of width $w\gg L_y$, a half-instanton is formed near the boundary, with the activation energy being 1/2 of $\Delta F^\text{2D}$.

Динамика сильно шунтированного джозефсоновского контакта под действием тока, содержащего как постоянную (В), так и переменную (с амплитудой А) компоненту, моделируется семейством дифференциальных уравнений на двумерном торе, зависящим от трёх параметров: абсциссы В, ординаты А и фиксированной частоты внешней накачки. Имеется хорошо известный топологический инвариант дифференциального уравнения на торе: число вращения, которое отвечает за среднее значение напряжение на контакте. В данной модели число вращения есть функция от (В,А). Зоны фазового захвата – это те её множества уровня, которые имеют непустую внутренность. Они существуют только для целых чисел вращения [1] и являются гирляндами из бесконечного числа областей, разделённых точками, называющихся перемычками (все, кроме одной, лежащей на оси абсцисс) [2]. Пересечение зоны захвата с горизонтальной прямой есть ступенька Шапиро. Перемычки отвечают нулевым ступенькам Шапиро. В каждой зоне перемычки лежат на одной вертикальной прямой [3]. Доказательство основано на описании модели семейством специальных дважды конфлюэнтных уравнений Гойна, с применением теории явления Стокса, изомонодромных деформаций, связанных с уравнениями Пенлеве 3, и быстро-медленных методов.
А.С.Горский поставил вопрос о реализуемости общих уравнений Гойна с четырьмя особыми точками семействами динамических систем на торе со свойством фазового захвата. Такие семейства систем на торе недавно построены [4]. Их зоны захвата существуют только для целых чисел вращения. Однако в них нет перемычек.
В докладе будет представлены обзор результатов и открытых задач и методы доказательств, включая подготовительный материал.

[1] Бухштабер В.М.; Карпов О.В.; Тертычный, С.И. Эффект квантования числа вращения. -- ТМФ, 162:2 (2010), 254–265.

[2] Klimenko A.V; Romaskevich O.L. Asymptotic properties of Arnold tongues and Josephson effect. -- Mosc. Math. J., 14:2 (2014), 367–384.

[3] Bibilo Yu.; Glutsyuk A. On families of constrictions in model of overdamped Josephson junction and Painlevé 3 equation. -- Nonlinearity, 35 (2022), 5427–5480.

[4] Alexandrov A.; Glutsyuk A. Dynamical systems on torus related to general Heun equations: phase-lock areas and constriction breaking. -- Preprint https://arxiv.org/abs/2507.07282

Мы изучаем слабо нелинейную динамику флексоэлектрической неустойчивости в нематических жидких кристаллах, инициированную внешним переменным электрическим полем. Неустойчивость возникает при конечном волновом векторе. Мы анализируем поведение на временных масштабах, значительно превышающих период внешнего электрического поля. Мы интересуемся случаем, когда инкремент наиболее неустойчивой моды имеет мнимую часть, так называемая бифуркация Хопфа. Существование такого режима было установлено в нашей предыдущей работе [Е.С. Пикина, А.Р. Муратов, Е.И. Кац, В.В. Лебедев, Динамические флексоэлектрические неустойчивости в нематических жидких кристаллах, Phys. Rev. E, 110, 024701 (2024)]. Выше порога неустойчивости могут появляться различные текстуры, включая стационарные и движущиеся в пространстве структуры. Проведено численное решение полной нелинейной системы уравнений электро-нематодинамики. Найдено, что устойчивая динамическая текстура в окрестности бифуркации Хопфа — движущиеся наклонные роллы (оптически детектируемые по деформациям нематического директора). Временное установление этого режима происходит аномально медленно, что определяется не только критическим замедлением динамики по Ландау, но и наличием промежуточной неустойчивой, но долгоживущей динамической текстуры, осциллирующей по времени, но не движущейся. В зависимости от параметров жидкокристаллического материала бифуркация, соответствующая образованию движущихся роллов, может быть мягкой (т. е. непрерывной, «критической» или близкой к «трикритической») или жесткой (то есть возникающей в точке бифуркации с конечной амплитудой).